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解析几何

时间:2009-01-11 16:42来源:未知 作者:admin 点击:
解析几何,又叫坐标几何,它是用代数方法来研究几何图形和变换性质的一门科学,是17世纪初期产生出来的一个数学分科,它包括平面解析几何和空间解析几何两部分。通过在几何空间中建立坐标系,就可将空间中的点均用坐标表出,从而图形的几何性质可以表为图形
   

  解析几何,又叫坐标几何,它是用代数方法来研究几何图形和变换性质的一门科学,是17世纪初期产生出来的一个数学分科,它包括平面解析几何和空间解析几何两部分。通过在几何空间中建立坐标系,就可将空间中的点均用坐标表出,从而图形的几何性质可以表为图形上的点的坐标之间的关系,特别是代数关系。

  我们知道,几何学源远流长,远在5000多年前,埃及、巴比伦、中国、印度等文明古国的人民,在从事农牧业的生产中,测量土地,疏通河道,制造工具及日常生活用品等,积累了大量的有关几何图形的知识,得出了计算面积、容积,测量距离的方法等。

  据《史记》记载,我国古代夏禹治水,就用到“准绳”和“规矩”,在公元前1世纪左右成书的《周髀算经》中载有“径一而周三”意思是说圆周率π=3,还载有“故折矩,以为句广三,股修四,径隅五”,意思是说“如果将一根直尺折成一个直角,较短的一边(称为勾)长为3,较长的一边(称为股)长为4,那么厚有尺两端的距离(称为径)一定为5”,因此至今还有人有“勾三股四径五”来代表勾股定理,尽管中国数学起源早,但中国长期处于封建统治之下,生产力发展缓慢科学得不到重视,对几何的研究也就停滞不前了。

  公元前7世纪,几何学从埃及传到希腊,许多希腊学者做出了卓越的贡献,他们注意阐明几何事实之间的相互关系,并逐步演变为几何原理之间的逻辑推理,欧几里得(公元前3世纪)系统地总结了前人的研究成果,写成《几何原本》一书,将几何上升为系统的数学理论,创立了古典公理法(又称综合法),尽管后来阿基米德(公元前287~212年)、阿波罗尼斯(公元前260-200年)等人在面积、体积和圆锥截线等方面作了深入的研究,但以后两千多年来的几何教科书与几何原本并没有什么本质上的差异,这与欧洲整个中古时期陷入了动乱和宗教迷信的黑暗年代不无关系。

  15、16世纪,欧洲由封建社会向资本主义社会过渡,进入文艺复兴时期。特别是从17世纪起,资本主义生产开始发展起来,天文、航海、机械、造船以及军事工业等,都有了飞速发展。生产实践向自然科学提出了许多新的研究课题,迫切需要力学、天文学等基础科学来解决,也就相应地要求数学提出新的概念与方法,于是产生解析几何的条件便成熟了。

  必须指出:解析几何的产生是与法国哲学家、数学家笛卡儿(Descartes 1596-1650)与数学家费马(P.de Fermat, 1601~1665)的名字联系在一起的。1637年他发表了著名的哲学著作《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》,其中有一个著名的附录:《几何学》,概括了他的关于坐标几何和代数的思想,主张将代数和几何中一切好的东西互相取长补短。他在分析传统、静止的数学后指出:以前认为直线是静止的,如今应将它看做是由一个变动着的点产生出来的,这就是轨迹的观念。过去对圆锥曲线的研究只重视了几何学方面,而忽视了代数学方面;东方高度发展的代数学,又有忽视几何学的倾向,他努力寻求把两者结合起来的途径,终于建立了平面坐标系,找到了点与数对之间的对应关系,把曲线用含有两个未知数的方程表示出来,又将几何问题通过坐标系变成了代数问题,用代数方法加以解决,再用几何语言叙述出来。他用这种思想研究了二次方程,使二次方程和圆锥曲线建立了对应关系。为此,马克思和恩格斯都曾高度地评价了笛卡儿的贡献,马克思说:“由于笛卡儿把代数应用于几何,也就是解析几何与高等几何,函数概念获得了新的发展和重要意义”。

  《几何学》作为笛卡儿哲学著作《方法论》的附录,意味着他的几何发现乃至其他方面的发现都是在其方法论原理指导下获得的,笛卡儿方法论原理的本旨是寻求发现真理的一般方法,他在另一部较早的哲学著作《指导思维的法则》中称自己设想的一般方法为“通用数学”(mathesis univer salis)并概述了这种数学的思想,在这里,笛卡儿提出了一种大胆的计划,即:

任何问题→数学问题→代数问题→方程求解

  为了实施这一计划,笛卡儿首先通过“广延”(extension)(他对有形物广延的一种推广)的比较,将一切度量问题化为代数方程问题,为此需要确定比较的基础,即定义“广延”单位,以及建立“广延”符号系统及其算术运算,特别是要给出算术运算与几何图形的对应,这就是笛卡儿几何学的方法论背景。

  由于笛卡儿在研究几何学方法上做了与传统的方法大相径庭的创新,从而产生了解析几何学,这样不仅为研究空间形式开辟了新的途径,而且把整个几何学的研究从原来“定性的层面”,推进到能进行计算的“定量的层面”。17世纪出现的解析几何与微积分的两大创造,使数学面貌为之改观,数学从此由常量数学进入到变量数学的新时期。

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