返回首页
当前位置: 学习网首页 > 数学 > 初中数学 >

例说圆有关的说理问题

时间:2009-01-20 17:14来源:未知 作者:郭永红 点击:
近年来的中考题中,经常遇到圆有关的判断说理问题.解答它们,要注意从题设条件出发,联想有关的性质和定理. 例1(广东省)如图1,AB是⊙O的弦,半径OC、OD分别交AB于点E、F,且AE=BF,请你找出线段OE与OF的数量关系,并说明理由. 分析:要找出线段OE与OF
   近年来的中考题中,经常遇到圆有关的判断说理问题.解答它们,要注意从题设条件出发,联想有关的性质和定理.
  例1(广东省)如图1,AB是⊙O的弦,半径OC、OD分别交AB于点E、F,且AE=BF,请你找出线段OE与OF的数量关系,并说明理由.
  
  分析:要找出线段OE与OF的数量关系,仔细观察图形,容易看出它们大致相等.如何来说明OE=OF呢?应构造与OE和OF有关的两个三角形,然后说明它们全等.
  解:连接OA和OB.
  ∵ OA和OB是⊙O的半径,
  ∴ OA=OB.
  ∴ ∠OAE=∠OBF.
  ∵ AE=BF,
  ∴ ∠OAE≌∠OBF(SAS).
  ∴ OE=OF.
  ∴ 线段OE与OF的数量关系为OE=OF.
  例2(湖北宜昌市)如图2,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC交⊙O与点E.
  (1)AB与AC的大小有什么关系?为什么?
  (2)按角的大小分类,请你判断△ABC属于哪一类三角形,并说明理由.
  分析:依题意,我们可以猜测AB与AC的大小为相等的关系,△ABC是锐角三角形.
  解:(1)连接AD.
  ∵ AB是⊙O的直径,
  ∴ ∠ADB=90°,AD⊥BC.
  ∵ DC=BD,
  ∴ AD是BC的垂直平分线.
  
  ∵ 点A在AD上,
  ∴ AB=AC.
  ∴ AB与AC的大小关系为相等.
  (2)按角的大小分类,△ABC是属于锐角三角形.为说明这一结论,再连接BE.
  ∵ AB是⊙O的直径,
  ∴ ∠BEA=90°.
  ∴ ∠BAC=∠BAE=90°-∠ABE<90°.
  ∴ ∠BAC是锐角.
  ∵ ∠ADB=90°,∠ADC=90°.
  又,∠ADC>∠ABC,∠ADB>∠ACB,
  ∴ ∠ABC<90°,∠ACB<90°.
  ∴ △ABC是锐角三角形.
  例3(广西柳州市)如图3,在△ABC中,∠A=45°,以BC为直径的⊙O与AB、AC交于E、F.
  (1)当AB=AC时,求证:EO⊥FO;
  (2)如果AB≠AC,那么EO⊥FO是否仍然成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由.
  分析:(1)在图3中,当AB=AC时,要证明EO⊥FO,只要证明∠EOF=90°.注意到BC是⊙O的直径,那么只要证明∠1+∠2=90°.(2)在图4中,当AB≠AC,要问EO⊥FO是否仍然成立?其关键在于判断∠1+∠2=90°是否仍然成立?
  解:(1)在图3中,当AB=AC时,
  ∵ ∠A=45°,
  
  ∴ ∠B=∠C=1/2(180°-∠A)=67.5°.
  ∵ OB=OE,
  ∴ ∠BEO=∠B=67.5°.
  ∴ ∠1=180°-(∠B+∠BEO)=45°.
  同理,∠2=45°.
  ∴ ∠1+∠2=90°.
  ∴ ∠EOF=180°-(∠1+∠2)=90°.
  ∴ EO⊥FO.
  (2)在图4中,当AB≠AC,EO⊥FO仍然成立.证明如下:
  ∵ OB=OE,
  ∴ ∠B=∠BEO,∠1=180°-2∠B.
  同理,∠2=180°-2∠C.
  ∴ ∠1十∠2=360°-2(∠B+∠C).
  ∵ ∠A=45°,
  ∴ ∠B十∠C=180°-∠A=135°.
  ∴ ∠1+∠2=360°-2×135°=90°.
  ∴ ∠EOF=180°-(∠1+∠2)=90°.
  ∴ EO⊥FO仍然成立.
顶一下
(1)
100%
踩一下
(0)
0%
------分隔线----------------------------
  • 上一篇:没有了
  • 下一篇:没有了
最新评论 查看所有评论
发表评论 查看所有评论
请自觉遵守互联网相关的政策法规,严禁发布色情、暴力、反动的言论。
评价:
表情:
用户名: 密码: 验证码:
发布者资料
nukeya 查看详细资料 发送留言 加为好友 用户等级:高级会员 注册时间:2009-01-10 13:01 最后登录:2009-07-03 15:07
推荐内容